Olimpiada De Matemática 2019 (Fase 2) Nivel 1
1.- Un kg de fresa cuesta 1 sol más que un kg de papaya. Luis compró dos papayas de 2 kg cada una y 3 kg de fresa, por lo que pagó 24 soles. ¿Cuánto cuesta 5 kg de fresa?2.- Un terreno de forma cuadrada ha sido dividido en tres parcelas A, B y C. Se sabe que C es un cuadrado y B es un rectángulo cuyo perímetro es 60 m. Calcule el área total del terreno (en m2).
3.- Luego de conocer los resultados de un examen, Arturo, Braulio, César, Dante, y Esteban calcularon su nota promedio. Se sabe que Arturo obtuvo 2 puntos más que el promedio, Braulio obtuvo 3 puntos más que el promedio, César obtuvo 4 puntos menos que el promedio, Dante obtuvo 5 puntos menos que el promedio y Esteban obtuvo k puntos más que el promedio. Calcule el valor de k.
4.- En la gráfica se muestra el volumen V de agua que hay en una piscina (en m3 ) en función del tiempo t (en minutos). Cuando t = 50 la piscina tenía 160 m3 y cuando t = 80 la piscina tenía 40 m3. Determine el volumen de la piscina al inicio, es decir, cuando t = 0.
5.- En cada una de las casillas del siguiente tablero de 4 × 4 se va a escribir un número entero de tal forma que los números de cada fila formen una progresión aritmética (de izquierda a derecha) y los números de cada columna formen una progresión aritmética (de abajo arriba). ¿Qué número debe ir en la casilla marcada con un asterisco?
6.- Un número entero positivo es llamado ilustre si tiene todos sus dígitos distintos y, además, el dígito de sus unidades es igual al cuadrado de la suma de todos los otros dígitos. Por ejemplo, 204 es ilustre. Calcule la diferencia de los dos mayores números ilustres.
7.- En la figura de la izquierda se muestra un papel en forma de rectángulo al que se le hizo un doblez a través de una diagonal y quedó como la figura de la derecha. Si el ángulo mostrado mide 32°, calcule el valor de x.
8.- Gustavo tiene 3 monedas de 1 sol y 7 monedas de 50 céntimos en el bolsillo derecho. En el bolsillo izquierdo tiene 4 monedas de 50 céntimos y n monedas de 20 céntimos. Si Gustavo saca al azar una moneda de cada bolsillo, la probabilidad de que sean de distinto valor es exactamente 65 %, calcule el valor de n.
Aclaración: Considere que en cada bolsillo todas las monedas tienen igual probabilidad de ser sacadas.
Resolución
9.- Encuentre el menor entero positivo que tiene divisores que terminan en todos los dígitos, es decir, el menor entero positivo que tiene al menos un divisor que termina en 0, al menos un divisor que termina en 1, . . ., al menos un divisor que termina en 9.
Aclaración: Decimos que un número termina en el dígito d si el dígito de sus unidades es d.
10.- Se pintaron de rojo algunas casillas de un tablero de 9 × 9 de tal forma que cada casilla roja es la única casilla roja de su fila o la única casilla roja de su columna (puede ser de ambas). ¿Como máximo cuántas casillas rojas puede haber en el tablero?