Lógica inferencial
Concepto
En este tema se analiza la estructura interna de las
proposiciones y la relación que existe entre el sujeto y el predicado.
Nociones previas
Proposición
Es aquel enunciado que tiene la cualidad de ser
verdadero o falso, pero no puede ser verdadero y falso a la vez.
Ejemplos:
- p: cinco más ocho es igual a 13 (v)
- q: Lima es capital de Bolivia (F)
- r: El número seis pertenece al conjunto de los
números enteros (V)
Proposición categórica
Es aquel enunciado
o proposición que afirma o niega la relación de dos conjuntos o clases.
Ejemplos:
1. Todas las mujeres son hermosas.
Indica que todos los elementos del conjunto o clase
" Mujeres" están considerados totalmente en el conjunto o
clase "Hermosas".
2. Ningún animal es un ser que razona.
Indica que no existen elementos del conjunto o clase
"animal" considerados en el conjunto o clase "ser que
razona".
3. Algunos estudiantes son puntuales.
Indica que algunos elementos del conjunto o clase
"estudiantes" son considerados en el conjunto o clase
"puntuales".
4. Algunas botellas no son de vidrio.
Indica que existen algunos elementos o al menos un
elemento del conjunto "botella" que no se considera en la clase
"vidrio".
Analizando los ejemplos anteriores, observamos la
relación que existe entre las clases o conjuntos en una proposición categórica.
Algunas relaciones pueden ser de inclusión o exclusión, totales o parciales, ello
lo notamos por el uso de las palabras: todos, ningún, algunos, no todos.
Dichas palabras
son conocidas con el nombre de cuantificadores.
Cuantificadores
Son expresiones
lógicas que indican la relación entre los conjuntos o clases de una proposición
categórica.
Los
cuantificadores pueden ser clasificados de la siguiente manera:
Inferencia
Es el análisis lógico que, partiendo de una o más
proposiciones (premisas), obtiene una nueva proposición llamada conclusión.
Ejemplos:
a) Todos los estudiantes de San Fernando son
responsables.
Si Carlos, Luis y Claudia, son estudiantes de San
Fernando, se deduce o se infiere que: algunos estudiantes de Trilce son
responsables.
b) Todos los
ingenieros dominan matemática.
Se deduce o se
infiere que algunos ingenieros dominan matemática.
c) Si:
-
Tolos los arequipeños son bohemios.
-
Todos los bohemios son felices.
Se infiere: Todos
los limeños son felices.
d) Si:
-
Todos los adolescentes son responsables.
- Ningún
responsable es inmaduro.
Entonces: Ningún
adolescente es inmaduro.
Nota: las inferencias que tengan dos premisas (como,
por ejemplo, "c" y "d") se llaman silogismos.
Para un mejor análisis de los problemas,
consideraremos los siguientes aspectos:
Caso 1: Cuando las proposiciones se refieran solo a
cuantificadores universales.
Caso 2: Cuando las proposiciones se refieran a
cuantificadores universales y particulares.
Caso 3: Negación de
proposiciones.
Gráfica de proposiciones
Caso 1
Esta representación es muy útil si en las
proposiciones solo aparecen CUANTIFICADORES UNIVERSALES.
Ejemplo 1. Si se sabe que:
- Todos los mamíferos son vivíparos.
- Ningún batracio es vivíparo.
- Todos los sapos son batracios.
Podemos concluir que:
a) Algunos sapos son vivíparos.
b) Algunos mamíferos son batracios.
c) Todos los batracios son sapos.
d) Ningún sapo es mamífero.
e) Todos los
mamíferos son batracios.
Resolución:
Se observa que solo hay cuantificadores universales, graficando:
Se infiere: ningún sapo es mamífero.
Respuesta. a
Caso 2
Considerando las siguientes representaciones:
Por lo tanto, utilizando diagramas de Venn Euler,
tendremos:
- Esta representación es recomendable
si en las proposiciones aparecen CUANTIFICADORES UNIVERSALES Y PARTICULARES.
- Para graficar más de una proposición, primero se
grafican aquellas que tengan cuantificador universal para luego continuar con
las que tengan cuantificador particular.
Ejemplo 2. Si:
- Algunos “A” que
son “B” no son “T”.
- Todos “B” son “A”.
- Ningún “A” es “C”.
Entonces:
I. Ningún "B"
es "C".
II.
Todos los “A” son “B”
III.
Algunos “C” no son “A”
Respecto a estas afirmaciones, las correctas son:
Resolución:
Graficando los
cuantificadores universales:
Finalmente,
considerando el cuantificador particular:
Entonces:
I. Verdadero.
II. Falso.
III. Falso.
Respuesta. c
Caso 3 Negación de proposiciones
categóricas
Una forma práctica para realizar la negación de una
proposición categórica es usar los diagramas de Venn Euler. Para ello, primero
se presenta gráficamente la proposición, luego se niega la zona representada y finalmente
se interpreta el gráfico obtenido.
Observamos que la
negación de un cuantificador universal es un cuantificador particular y
viceversa.
Ejemplo 3. La negación de "todos los rectángulos son
paralelogramos", es:
a) Todos los rectángulos no son paralelogramos.
b) Todos los no rectángulos no son paralelogramos.
c) Algunos rectángulos no son paralelogramos.
d) Algunos rectángulos son paralelogramos.
e) Todos los no rectángulos son paralelogramos.
Resolución:
Graficando la premisa: "Todos los rectángulos son
paralelogramos".
Un "no existe" se niega con un "existe
al menos uno".
Finalmente, el
gráfico de la negación es:
Algunos rectángulos no son paralelogramos.
Respuesta. c
Ejemplo 4.- A partir de las
siguientes premisas:
Todos los artistas
son sensibles.
No es cierto que
todos los poetas sean sensibles.
Se infiere válidamente:
a) Todos los poetas son artistas.
b) Ningún artista es poeta.
c) Algunos poetas no son artistas.
d) Todos los artistas son poetas.
e) Algunos
sensibles no son poetas.
Resolución:
Analizando y
graficando:
Finalmente:
Se infiere: algunos poetas no son artistas.
Respuesta.:
c