XVI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2019)
Tercera Fase - Nivel 2
26 de
setiembre de 2019
Preguntas:
1. Hugo y Sandro salieron a la misma
hora, cada uno con su automóvil, desde Trujillo con dirección a Chiclayo. Los
primeros 30 minutos la rapidez de Hugo fue 56 km/h, luego, decidió bajar su
rapidez a 32 km/h. Después de 15 minutos de reducir su rapidez, Hugo fue alcanzado
por Sandro. Si desde el inicio la rapidez de Sandro fue v km/h. Calcule el
valor de v.
2. Para cada
entero positivo k, sea P(k) la siguiente proposición: “Si la suma de los dígitos
de un entero positivo de tres dígitos es k, entonces al menos dos de sus dígitos
son iguales". De las veintisiete proposiciones P(1); P(2); : : : ; P(27), ¿cuántas
son verdaderas?
3. Definimos las
funciones f(x) = 2x3 y g(x) = 128x6. Si r es un número
real positivo tal que
f(f(f(r))) = g(g(r)),
calcule el valor de 128r.
4. Determine cuantos
enteros positivos n, con n £ 1000, cumplen que n(n+1)(n+2) es múltiplo de 9999.
5. En la figura
se muestra dos cuadrados y una recta que pasa por sus centros. Si AB = 8 y CD =
18, calcule la longitud de BC.
6. Sea N = 25x57x79.
Determine cuantos enteros positivos d cumplen que d + N/d es un número entero
impar.
7. Determine la
cantidad de números de dos dígitos ab, con a 6 ¹ b, para los cuales se cumple que
aabb es múltiplo de ab.
8. Sea w una
circunferencia de radio 20 y P un punto cuya distancia al centro de w es 18. Determine
cuántas cuerdas de w pasan por P y tienen longitud entera.
Aclaración: Una cuerda es un segmento que
une dos puntos de una circunferencia.
9. Roxana tiene
cinco tarjetas de colores distintos en una bolsa. Cada uno de los días lunes, martes
y miércoles ella realizo el siguiente procedimiento: extrajo al azar tres
tarjetas y las devolvió a la bolsa. Si la probabilidad de que cada tarjeta haya
sido extraída al menos una vez (considerando los tres días) es m/n, donde m y n
son enteros positivos coprimos, calcule el valor de m + n.
10. Un conjunto finito
A de números reales es llamado interesante si para cualquier elemento x Î A se verifica la condición x(x – 1) Î A. Sea U la unión
de todos los conjuntos interesantes que tienen exactamente 12 elementos.
Determine cuántos elementos tiene el conjunto U.
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