Prueba de la ONEM Etapa DRE - Nivel 2 Fase 3

Prueba de la  XIX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2023) Etapa DRE - Nivel 2 Fase 3

En todos los casos el resultado es un número entero positivo.

1. En una feria artesanal en Cusco el precio de un tejido es proporcional a su área. Kimberly compró un tejido de 2 metros de largo y 1,5 metros de ancho a 80 soles y Hugo compró un tejido de la misma calidad que el de Kimberly, pero de 1,5 metros de largo y 1,2 metros de ancho. ¿Cuánto costó el tejido de Hugo?

2. Los números del 1 al 8 están escritos en ocho tarjetas de papel. Ana, Beatriz, Carla y Daniela eligen 2 tarjetas cada una de tal forma que las sumas de los dos números en sus tarjetas son iguales a 4, 7, 11 y 14, respectivamente. ¿Cuál es el mayor número que eligió Carla?

3. Miguel tiene 60 caramelos y los distribuye en algunas bolsas de tal forma que no hay dos bolsas con la misma cantidad de caramelos y, además, ninguna bolsa queda vac´ıa. ¿Cuántas bolsas como máximo tiene Miguel?

4. Martín tiene una hoja cuadrada de área 8 y la divide en siete piezas de Tangram, como se muestra en la siguiente figura:

Usando estas siete piezas él forma una nueva figura en forma de letra C:

Calcule el perímetro de esta nueva figura.

Observación: Las piezas de Tangram son 5 triángulos rectángulos isósceles, un paralelogramo y un cuadrado.

5. Decimos que un n´umero natural es asombroso si es múltiplo de la suma de sus dígitos y también es múltiplo de la suma de los cuadrados de sus dígitos. Por ejemplo, 2023 es asombroso pues es múltiplo de 7 = 2+0+2+3 y también es múltiplo de 17 = 2^2+0^2+2^2+3^2. Encuentre el mayor número asombroso de cuatro dígitos que es múltiplo de 23.

6. Sea ABC un triángulo. Ubicamos un punto E sobre el segmento AC y punto D sobre el segmento BE de tal forma que BD = 8, BC = 9 y

∠ABC = ∠BCA = ∠CDE = ∠DEC.

Calcule la longitud de AB.

7. En algunas casillas del tablero de 10 × 10 mostrado se va a colocar una moneda, de tal manera que cada fila, cada columna y cada una de las dos diagonales del tablero contenga exactamente una moneda. Determine cuántas monedas puede haber como máximo en las casillas sombreadas.

8. Determine el menor entero positivo n para el cual existen enteros positivos x1, x2, . . . , xn, no necesariamente distintos, tales que

9. Cuatro amigos van a una heladería que tiene helados de 3 sabores distintos. Cada uno pide cierta cantidad de helados (que puede ser 0) de tal manera que:

• Si alguien pide dos o más helados estos deben ser de sabores distintos.
• Ninguno de los sabores fue elegido por exactamente dos amigos.
• Cada sabor fue pedido por al menos un amigo.

Determine la cantidad de formas en las que pudieron realizar su pedido.

10. Sean a, b, c, d números reales tales que

Calcule el valor de