PROBABILIDAD DE EVENTOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES ENTRE SI

Eventos dependientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros. Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Eventos Independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

Ejemplo:

Lanzar al aire dos veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBABILIDAD DE EVENTOS DEPENDIENTES

1.- Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es reemplazada. Otra canica se saca de la caja. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?

Ya que la primera canica no es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.

P(azul luego verde) = P(azul) * P(verde)

P(azul luego verde) = (2/9) • (3/8) = 6/72 = 1/12

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2.- Un departamento de mantenimiento recibe un promedio de 5 llamadas por hora. Comenzando en un momento aleatoriamente seleccionado, la probabilidad de que una llamada llegue dentro de media hora es:

Promedio 5 por hora, como el intervalo es media hora = 2,5/media hora. A continuación, tenemos que:

P(T< 30 min.) = 1- e -5 = 1 - 0,08208 = 0,91792
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3.- P(AÈB) = P(A) + P(B). Se extrae una carta al azar de un mazo inglés normal de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos A: "sale 3" y B: "sale una figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A ó B. Como estos eventos no pueden ocurrir simultáneamente, o sea, son mutuamente excluyentes

A∩B = f. Entonces:

P(A ó B) = P(AÈB) = P(A) + P(B)
= P(sale 3) + P(sale figura) = 4/52 + 12/52 = 4/13.
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4.- P(A) + P(A^c) = 1. En el mismo experimento anterior de sacar una carta, el evento A: "no sale rey" tiene como complemento al evento "sale rey", entonces resulta más simple calcular la probabilidad de A como 1 - P(A^c):

P(no sale rey) = 1 - P(sale rey) = 1 - 4/52 = 12/13

P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(A∩B). En el lanzamiento de un dado de seis caras, los eventos A: "sale par" y B: "sale primo" tienen intersección no vacía:

A∩B = {2}, entonces la probabilidad del evento "sale par o primo" = A ó B es
P(A o B) = P(AÈB) = P(A) + P(B) - P(A ∩B)

= 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6

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5.- P(A∩B) = P(A)•P(B). Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Los eventos: A: "sale par en el primer lanzamiento" y B: "sale un 3 en el segundo", son eventos independientes, entonces la probabilidad de que "salga par en el primero y un 3 en el segundo" es

P(A y B) = P(A∩B) = P(A)•P(B) = (3/6)•(1/6) = 1/12

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6.- P (A∩B) = P(A)•P(B/A) ó P(B/A) = P(A∩B)/P(A) [P(B/A)]

Es la probabilidad del evento B, sabiendo que ha ocurrido A]. En la extracción de una carta de un mazo inglés normal: ¿Cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea el as de corazones, sabiendo que la carta extraída es de corazones?

Debemos calcular P(as/corazón).

La probabilidad de "as y corazón" es 1/52.

La probabilidad de corazón es 13/52.

Luego, P(as/corazón) = P(as y corazón)/P(corazón) = (1/52)/(13/52) = 1/13.

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PROBABILIDAD DE EVENTOS INDEPENDIENTES

1.- Si se lanza una moneda normal tres veces, la probabilidad de obtener tres sellos es:

Solución:

Cada lanzamiento es independiente de los otros. De manera que las probabilidades de sello (S) en cada lanzamiento se multiplicarán entre sí.

P(tres Sellos) = P(S)•P(S)•P(S) = (1/2) • (1/2) • (1/2) = 8

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2.- Una moneda se lanza tres veces, ¿Cuál es la probabilidad de que las tres veces salga cara?

Solución:

La probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es ½

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3.- En tres lanzamientos independientes entre sí, el resultado de uno no afecta los otros resultados. En tal caso, las probabilidades de cada evento - de salir cara en este caso -, se multiplican entre sí:

P = (1/2) • (1/2) • (1/2) = 1/8

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4.- Se extrae una carta de una baraja de 52 naipes. Se repone y se extrae una segunda carta. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes?

Solución:

Sea A ≡ Obtener un rey de un mazo de 52 cartas.

Hay 4 reyes en el mazo. Por lo tanto,

P(A) = 4/52 = 1/13

Al reponer la carta, cada extracción es independiente de la anterior, esto quiere decir que no se ve afectado el valor de obtener la misma probabilidad de obtener un rey. Además, por ser eventos independientes, se multiplica el valor según el número de extracciones con reposición que hay, que son dos.

Así:

P(extraer dos reyes en dos extracciones y con reposición) = (1/13)•(1/13) = 1/69

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5.- En una urna hay 3 fichas amarillas y 6 azules, ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar 2 fichas, con reposición, éstas sean amarillas?

Solución:

Definamos A como el evento:

“extraer una bola amarilla”.

Así, si

P = es la probabilidad de extraer una sola bola amarilla.

P = casos favorables números de amarillas/casos totales número total de bolas = 3/(3+6) = 3/9 = 1/3

Como una extracción no afecta a la otra, pues se repone la bola sacada, no afectando al número de bolas del color sacado, ni al total de bolas que hubo inicialmente, para el caso de otra extracción. Por tanto, estamos frente a eventos independientes. Y el evento A se repite dos veces para satisfacer lo pedido. Así, extraer dos bolas amarillas es simplemente repetir el evento A, siguiendo un principio multiplicativo para extracciones con reposición y de modo más general, para eventos independientes.

P = (1/3) • (1/3) = 1/9

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6.- El macabro y no recomendado juego de la ruleta rusa, consiste en introducir una bala en una de las seis recámaras del cilindro del revólver, dejando las otras cinco vacías. Ahora, si cada juego consiste en hacer girar el cilindro, apuntar a la cabeza y apretar el gatillo. ¿Cuál es la probabilidad de estar vivo después de jugar dos veces?

Solución:

Cada vez que se hace girar el cilindro, la probabilidad de que salga el disparo es 1/6.

Por lo tanto, la probabilidad de sobrevivir a cada juego es 5/6.

Como los juegos son independientes, la probabilidad de sobrevivir a dos juegos es:

5/6= primer juego

(5/6) • (5/6) = 25/36

25/36= segundo juego

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7.- Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer lanzamiento resulte 3 y en el segundo lanzamiento un número impar?

Solución:

Sean los eventos:

A ≡ Obtener un 3. De seis números posibles, hay un solo 3 ⇒P(A) =1/6

B ≡ Obtener un número impar. De seis números posibles, tenemos tres impares ⇒ P(B) = 3/6 = 1/2

Los eventos A y B son independientes, por lo tanto, P(A∩B) = P(A) •P(B) =

(1/6) • (1/2) = 1/12

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8.- Una persona muy distraída ha extraviado el número telefónico de su mejor amigo, pero logra averiguar las 5 cifras intermedias de un total de 7. Sabiendo además que el primer dígito debe ser par, distinto de 0 y que la última cifra es impar mayor que 4, ¿Cuál es la probabilidad de acertar al número de teléfono de su amigo?

Solución:

Solo debe adivinar dos dígitos, el primero y el último. Las posibilidades para el primer número son par y distinto de cero: 2, 4, 6, 8. Las posibilidades para el segundo número son impar y mayor que cuatro: 5, 7,

Sean los eventos:

A ≡ Acertar el primer dígito.

B ≡ Acertar el segundo dígito.

A∩B ≡ Acertar los dos dígitos.

Entonces P(A) = 1/4

Entonces P(B) = 1/3

Como son eventos independientes, la probabilidad de acertar los dos dígitos en el número telefónico de su amigo es el producto de ambas probabilidades:

P(A∩B) = P(A) • P(B) = (1/4) • (1/3) = 1/12

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9.- Un estudiante responde al azar 5 preguntas de verdadero y falso en una prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte todas aquellas preguntas?

Solución:

Cada pregunta tiene dos respuestas posibles, las que constituyen los casos totales. El caso favorable a cada respuesta correcta es una en cada pregunta. Por lo tanto, la probabilidad de responder correctamente una pregunta es:

P(1 correcta) = ½

Responder cada pregunta constituye un evento independiente a las otras respuestas. Por lo tanto, se multiplica los resultados probables de acertar cada una de las 5 preguntas. Así, la probabilidad pedida es:

P(5 correctas) = (1/2)•(1/2)•(1/2)•(1/2)•(1/2) = (1/2) ^5 = 1/32

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10.- Un test de selección múltiple consta de 30 preguntas. Cada pregunta tiene 4 posibles respuestas siendo sólo una de ellas la correcta. Si un alumno responde al azar cada pregunta, ¿Cuál es la probabilidad de que todas sus respuestas sean correctas?

Solución:

Hay una alternativa correcta de un total de cuatro en cada pregunta. Por lo tanto, la probabilidad de acertar una es ¼

Como cada pregunta es independiente de las otras, la probabilidad final es el producto de las probabilidades de cada una de las 40 preguntas. Es decir,

P(30 aciertos) = (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) • (1/4) = (1/4) ^30

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11.- Un alumno contesta las 70 preguntas de la P.S.U. de matemáticas al azar. Si cada pregunta tiene 5 alternativas y sólo una de éstas es correcta, entonces ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el puntaje máximo?

Solución:

Hay una alternativa correcta de un total de cinco en cada pregunta. Por lo tanto, la probabilidad de acertar una es una de cuatro, es decir,

P(x = 1) = 1/5

Para obtener el puntaje máximo se debe acertar las 70 preguntas, independientes entre sí. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:

P(x = 70) = (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)

P(x = 70) = (1/5) ^70

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12.- Un alumno en un examen debe contestar verdadero o falso a cada una de seis preguntas. Si el alumno responde al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente las cinco últimas preguntas, si acertó en la primera?

Solución:

Sea x la variable que indica el número de veces que se acierta una pregunta. Entonces, si la respuesta correcta se halla entre dos alternativas, la probabilidad de acertar una pregunta es una de dos, es decir:

P(x = 1) = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/2) ^5=1/32

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13.- Una persona debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hará por cada etapa que compone un concurso. Si la persona responde al azar, la probabilidad que acierte en seis etapas es:

Solución:

La probabilidad de acertar una afirmación es de ½.

Como todas las etapas son independientes, para 6 etapas, la probabilidad pedida es:

P = (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/2)^6 = 1/64

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14.- Un restaurante ofrece un almuerzo en que se pueden elegir 2 entradas, 3 platos de fondo y 5 postres. Si no me gustan 2 de los platos de fondo y 3 de los postres. ¿Cuál es la probabilidad de que me toque un menú de mi agrado si la elección es el azar?

Solución:

Todo menú tendrá finalmente 1 entrada, 1 plato de fondo y 1 postre y la composición de cada uno de estos es independiente de los otros. Así, tendremos de seguro, varias probabilidades que multiplicar. Denotemos las probabilidades de obtener entrada, fondo y postre de mi agrado, con P(entrada), P(fondo) y P(postre) respectivamente. En la siguiente expresión consideramos en los numeradores solo los casos favorables que sean del agrado, mientras que en los denominadores, a la cantidad total de posibilidades de componerlos. Así, la probabilidad de obtener un menú de mi agrado es:

P(entrada) • P(fondo) • P(postre) = (2/2)•(3-2)/3•(5-3)/5 = 1•(1/3)•(2/5) =2/5

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15.- El procesador, la placa madre y la memoria tienen un 5%, 10% y 20% de probabilidades de fallar antes de un año respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de comprar un computador que presentará fallas antes de un año, en los tres componentes señalados?

Solución:

Sean los siguientes eventos de falla antes de un año:

A ≡falla el procesador. Por el enunciado, P(A) = 5% = 5/100 = 1/20.

B ≡falla la tarjeta madre. De el enunciado, P(B) = 10% = 10/ 100 = 1/10.

C ≡falla la memoria. Entonces, P(C) = 20% = 20/100= 2/10 = 1/5.

Como los componentes son independientes uno del otro, la probabilidad de que los tres fallen antes de un año, es la probabilidad de eventos independientes:

P(A∩B∩C) = P(A) •P(B) •P(C) = (1/20)(1/10)(1/5)=1/1000

Un milésimo.

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16.- En una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15% de los empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35% de las personas son mujeres, ¿Cuál es la probabilidad de que, al escoger una persona de la empresa, esta sea mujer y se haya perfeccionado en el extranjero?

Solución:

Sea:

M = Escoger a una mujer.

E = Haberse perfeccionado en el extranjero.

M y E son eventos independientes. Por lo tanto, la probabilidad pedida es el producto de la probabilidad de ambos eventos.

P (M∩E) =P(M) • P(E)

P (M∩E) = (35 ^7)/(100 ^20) •(15/100)

=7/(20^4) • (15^3)/100

= (21/4)(1/100%)

= 5,25%

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