Actividad 03 Progresiones (Sucesiones) Geometricas Ficha de Aprendizaje Secundaria

Actividad 03: Planteamos Afirmaciones Sobre la Utilidad de las Progresiones Geométricas Para Planificar Rutinas de Actividades Físicas

Competencia: Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio.

Área: Matemática.

META:

Plantear afirmaciones sobre la utilidad de las progresiones geométricas para planificar rutinas de actividad física.

LEE LA SIGUIENTE SITUACIÓN:

Los estudiantes de 3. ° y 4. ° de secundaria, luego de haber planificado sus actividades físicas utilizando la progresión aritmética, ahora están planteando una nueva rutina para correr. Luego de discutir varias propuestas, deciden que correrán 3 días a la semana. El primer día correrán durante 10 minutos y cada día siguiente correrán un tiempo igual a los 3/2 del tiempo que corrieron el día anterior.

Si esta propuesta la realizarían durante cuatro semanas, ¿en cuánto tiempo recorrerán el último día de la cuarta semana?, ¿consideras que es factible ejecutar este plan para correr?

Comprende el problema

Explica el problema con tus propias palabras y responde las siguientes preguntas en el cuaderno:

♥ ¿Qué datos identificamos en el problema?

Respuesta sugerida: Recorren 3 días a la semana, primer día correrán durante 10 minutos, los días siguientes un tiempo igual a los 3/2 del tiempo del día anterior.

♥ ¿Qué tipo de sucesiones se pueden formar con los tiempos que recorrerán cada día?

Respuesta sugerida: Los tiempos de cada día al relacionarlos resulta una sucesión geométrica.

♥ ¿Qué información o recursos necesitamos para resolver esta situación problemática?

Respuesta sugerida: Se necesita el primer término de la progresión y la razón geométrica.

♥ ¿Qué nos pide calcular el problema? ¿Cómo podemos hacerlo?

Respuesta sugerida: Se pide hallar el tiempo del tercer día de la cuarta semana y este tiempo es posible de poder realizarlo.

Identifica los datos y represéntalos

Identifica los tiempos que correrán los estudiantes cada día durante las 4 semanas.

♥ ¿Cuántos días han planificado correr?

Respuesta sugerida: Los estudiantes de tercero y cuarto de secundaria han llegado a un común acuerdo de correr tres días a la semana.

♥ ¿Qué tiempo correrán el primer día?

Respuesta sugerida: Los estudiantes, por dato, el primer día correrán un tiempo de 10 minutos.

♥ ¿Cuánto tiempo correrán el segundo día? ¿Cómo calculamos ese dato?

Respuesta sugerida: Los estudiantes el segundo día recorren los 3/2 de 10 minutos. Para hacer el cálculo de los tiempos se utiliza la fracción como operador que correrán a partir del segundo día. Por lo tanto, multiplicamos 3/2 por 10 y resulta 15 minutos.

♥ ¿Cómo es la variación de los tiempos de un día a otro?

Respuesta sugerida:

Anotamos todos los tiempos que hemos obtenido:

10 min; 15 min; 22.5 min; 33.75 min; 50.625 min; 75.9375 min; 113.90625 min; 170.859375 min

Deduce el modelo para determinar los tiempos en un día cualquiera

Organiza los tiempos que correrán los estudiantes de 3.° y 4.° grado en la siguiente tabla.

Caminata
Día	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Min	10	15	22.5	33.75	50.625	75.9375	113.90625	170.859375	256.2890625	384.43359375	576.650390625	864.9755859375

 

Responde las siguientes preguntas:

♥ ¿Cómo varían los tiempos cada día?

 Respuesta sugerida:

♥ Entonces, ¿cuánto tiempo correrán los estudiantes el día 5?

 Respuesta sugerida: El día 5 recorren 50.625 minutos.

♥ ¿Cuánto tiempo correrán el día 12?

 Respuesta sugerida: El día 12 emplean un tiempo de 864.97 minutos aproximadamente.

Deduce el modelo para determinar los tiempos en la semana 3 y 4

Calcula directamente los tiempos que correrán los estudiantes cada día durante las 4 semanas. Luego, responde las preguntas.

DIA		TIEMPO
1	Þ	10 min
2	Þ	15 min
3	Þ	22.5 min
4	Þ	33.75 min
…	Þ
…	Þ	10*(1.5) n-2
n	Þ	10*(1.5) n-1

♥ ¿Cómo calculamos el primer y segundo término utilizando la razón?

 Respuesta sugerida: El primer término lo calculamos 10*(1.5) ⁰ y el segundo, 10*(1.5) ¹

♥ ¿Qué relación hay entre el número de términos y la razón?

 Respuesta sugerida: El número de términos, disminuido en 1, sirve como exponente de la razón y multiplicado con 10, que es el primer término, permite hallar el enésimo término de la progresión geométrica.

♥ Entonces, el término general a_n de la progresión geométrica es:

Respuesta sugerida: a_n = 10*(1.5) ^n-1

♥ Los términos de la sucesión son:

a₁ = 10; r = 3/2 = 1.5; n = 1; a_n = a₁*(1.5) ^n-1

♥ Escribimos el segundo término (a₂) en función del primero:

a₂ = 10 × (3/2) ^{(2 – 1)}

a₂ = a₁ x r ^{(2 – 1)}

♥ Escribimos el tercer término (a₃) en función del primero:

a₃ = 10 × (3/2) ^{(3 – 1)}

a₃ = a₁ x r ^{(3 – 1)}

♥ Escribimos el cuarto término (a4) en función del primero:

a₄ = 10 × (3/2) ^{(4 – 1)}

a₄ = a₁ x r ^{(4 – 1)}

Evalúa la posibilidad de ejecutar el plan de entrenamiento

Plantea afirmaciones sobre la posibilidad de ejecutar este plan de entrenamiento.

♥ ¿Cuánto tiempo correrían los estudiantes el día 5? ¿Es posible correr durante ese tiempo? a₅ = 10 x (1.5)^{(5 – 1)} Þ a₅ = 10 x (1.5)⁽⁴⁾ Þ a₅ = 33.75 minutos. Este tiempo si es prudente para poder correr ¿Por qué? Se recomienda, para mejorar la salud y nuestro estado físico, una media de running de 30 minutos diarios durante 5 días.

♥ ¿Cuánto tiempo correrían los estudiantes el día 8? ¿Es posible correr durante ese tiempo? a₈ = 10 x (1.5)⁽⁷⁾  Þ a₈ = 170.86 minutos aproximadamente ¿Por qué? El tiempo se acerca a 3 horas, lo cual es un tiempo imposible y está muy lejos de la media.

♥ ¿Cuánto tiempo correrían los estudiantes el día 10? ¿Es posible correr durante ese tiempo? a₁₀ = 10 x (1.5)⁽⁹⁾  Þ a₁₀ = 384.43 minutos aproximadamente ¿Por qué? Son más de 5 horas, lo cual ya no es posible.

♥ ¿Cuánto tiempo correrían los estudiantes el último día? ¿Es posible correr durante ese tiempo? a₁₂ = 10 x (1.5)⁽¹¹⁾  Þ a₁₂ = 864.98 minutos aproximadamente ¿Por qué? Son más de 14 de horas, esto es imposible correr y está muy lejos de lo recomendado.

♥ ¿Qué afirmaciones podemos plantear a partir de este análisis?

Podemos afirmar lo siguiente:

- Para que resulte saludable para la salud el tiempo apropiado es hasta el cuarto día, ya que está cerca a la media (30 minutos diarios) que recomiendan los especialistas.

- Correr una hora por día mejora tu estado de ánimo y te libera de tensiones y malestar. Tu mente estará despejada, además mejora y fortalece tu corazón, ya que las paredes engrosan y los ventrículos crecen para bombear más sangre.

- A partir del día 8 resulta imposible correr porque ocasiona una carga muscular lo cual produce dolores o molestias en los músculos desde dos horas en adelante.

- A pesar que correr es bueno para mantenerse saludable, pero existen situaciones que debes evitar, tal es el caso si sufres obesidad, tal actividad ocasiona un impacto directamente en los huesos y articulaciones, y usted puede terminar con una lesión.

Compara la sucesión geométrica y la aritmética para tomar decisiones

Anota la sucesión geométrica que se forma con los tiempos.

a1	a2	a3	a4	a5	a6
Þ	Þ	Þ	Þ	Þ	Þ
10 min	15 min	22.5 min	33.75 min	50.625 min	75.9375 min	…

Anota la sucesión aritmética que se forma con los tiempos del plan anterior.

a1	a2	a3	a4	a5	a6
Þ	Þ	Þ	Þ	Þ	Þ
4 min	8 min	12 min	16 min	20 min	24 min	…

Responde las siguientes preguntas.

♥ ¿Qué pasa con los términos de las progresiones?

Respuesta sugerida: Los términos de la progresión geométrica crecen con mayor facilidad que los de la progresión aritmética. Esto sucede porque para la primera se multiplica la razón y para la segunda, se suma.

♥ ¿Qué decisión podemos tomar al comparar estas dos series numéricas?

Respuesta sugerida: Podemos considerar la progresión aritmética si se trata de realizar ejercicio físico porque el incremento tiene una relación proporcional de causa efecto; en el otro caso, es parabólico, lo cual es un cambio brusco para el cuerpo.

Reflexiona sobre tu aprendizaje

Responde las siguientes preguntas en el cuaderno.

♥ ¿Qué situaciones favorecieron el logro de tu aprendizaje? ¿Qué dificultades tuviste al desarrollar la actividad? ¿Qué hiciste para superarlas?

Respuesta sugerida: Trabajar los tiempos en las tablas en una buena estrategia que facilita la comprensión de la situación. Si no se hace lo primero puede llevar a errar en el planteamiento del termino general. Pero, para ello se tiene que relacionar de manera cuidadosa unos cuantos términos.

♥ ¿Las progresiones geométricas nos ayudan a elaborar un plan de entrenamiento para realizar actividad física?

Respuesta sugerida: Si nos ayudan cuando tomamos pocos días, como es el caso de la situación, hasta una semana (7 días) es realizable la actividad física; pero, si se supera este tiempo se vuelven imposible de realizar la actividad física.

♥ ¿Es posible que los tiempos de nuestro plan de entrenamiento aumenten en forma geométrica?

Respuesta sugerida: Si es posible que nos ayuden para hacer nuestro plan de entrenamiento para unos pocos días.

♥ ¿En qué otras situaciones podemos hacer uso de las progresiones geométricas?

Respuesta sugerida: Si podemos aplicar para hacer el calculo de intereses de un préstamo financiero, para medir crecimiento poblacional de alguna especie, en la compra de algún artículo.

 

Autoevaluación                                                                                           

Criterios de evaluación	Lo logré	Estoy en proceso de lograrlo	¿Qué puedo hacer para mejorar mis aprendizajes?
Establezco relaciones entre datos, valores desconocidos y regularidades. Transformo esas relaciones a expresiones algebraicas (modelos) que incluyen la regla de formación de una progresión geométrica.
Expreso con diversas representaciones gráficas, simbólicas y con lenguaje algebraico, mi comprensión sobre la regla de formación de una progresión geométrica y reconozco la diferencia entre un crecimiento aritmético, para interpretar un problema en su contexto.
Selecciono y combino estrategias heurísticas, métodos gráficos, recursos y procedimientos matemáticos más convenientes para determinar términos desconocidos.
Planteo afirmaciones sobre la relación entre la posición de un término y su regla de formación en una progresión geométrica y las diferencias entre crecimientos aritméticos y geométricos.
Justifico y compruebo la validez de mis afirmaciones mediante ejemplos, propiedades matemáticas, o razonamiento inductivo y deductivo.

 

Referencias:

-          Adaptado de Macmillan Education. (s. f.). Sucesiones. Progresiones aritméticas y geométricas. Unidad 3.

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