XVI Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2019) Tercera Fase - Nivel 1
Fecha de aplicación: 26 de setiembre de 2019
1. Andrea, Beatriz y Carla tienen que elaborar cada una 60 pantalones el día de hoy. En el tiempo en que Beatriz hace 3 pantalones, Andrea hace 5 y en el tiempo que Carla hace 3 pantalones, Andrea hace 4. Cuando Andrea termina su trabajo del día, ¿cuántos pantalones en total le falta a Beatriz y Carla?
2. En la pizarra están escritos cinco números. Si uno de esos números fuera reemplazado por su doble, la media de los cinco números aumentará en 4. Si en vez de hacer eso, ese número fuera reemplazado por su mitad, ¿en cuánto disminuirá la media de los cinco números?
3. Los enteros positivos a, b y c forman una progresión aritmética en ese orden. Si b es múltiplo de 4 y c es múltiplo de 9, determine el menor valor posible de a + b + c.
4. Un triángulo ABC cumple que las longitudes de sus lados son tres números enteros consecutivos (en algún orden). Sea M el punto medio del lado BC. Si la bisectriz del ángulo <ABC es perpendicular al segmento AM, calcule el perímetro del triángulo ABC.
5. Sean a y b números enteros tales que
Calcule el valor de a3 + b3.
6. En la figura mostrada, ABCD es un rectángulo cuya área es 200 cm2 y P es un punto del segmento BC. Se sabe que las distancias de los puntos B y D a la recta AP están en relación de 2 a 5. Calcule el área del cuadrilátero APCD, en cm2.
7. Determine de cuantas maneras se puede pintar 6 casillas de un tablero de 5 x 6 de tal modo que cada fila y cada columna tenga al menos una casilla pintada.
8. Hay 15 personas de edades diferentes sentadas alrededor de una circunferencia, cada una de ellas es veraz (siempre dice la verdad) o es mentirosa (siempre miente). En cierto momento, cada persona dijo: “Soy mayor que mis dos vecinos". Después, exactamente k personas dijeron: “Soy menor que mis dos vecinos". Determine el mayor valor posible de k.
9. Para cada entero positivo, n sea Gn el número que se obtiene al escribir n y a continuación n – 1 (sin dejar espacio). Por ejemplo, G1 = 10, G2 = 21 y G100 = 10099. Determine cuántos elementos distintos tiene el conjunto:
{mcd (1; G2); mcd (2; G3); mcd (3; G4); : : : ; mcd (2018; G2019)}:
Aclaración: mcd(a; b) denota al máximo común divisor de a y b.
10. Sean C = {1; 2; 3; : : : ; 15} y S1; S2; : : : ; Sk subconjuntos no vacíos de C que tienen distintas cantidades de elementos, tales que ninguno de ellos está incluido en la unión de los otros k – 1 subconjuntos. Determine el mayor valor posible de k.
Aclaración: Decimos que el conjunto A está incluido en el conjunto B si cualquier elemento de A también es elemento de B.