XVIII Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM) 2017
Primera Fase – Nivel 3
22 de julio de 2022
1.- Karen y Lucía fueron a comprar útiles escolares para sus hijos. Karen compró 2 lapiceros y 4 cuadernos, mientras que Lucía compró 6 lapiceros y 12 cuadernos. Si Karen pagó 19 soles. ¿Cuánto pagó Lucía?
A) 37 soles.
B) 48 soles
C) 57 soles
D) 38 soles
E) 76 soles
2.- Uno de los salones de la I.E. San Carlos de Puno tiene sus carpetas ordenadas en 4 columnas, donde cada columna tiene n carpetas. Luego de retirar una carpeta, las que quedan se pueden ordenar en 5 columnas, donde cada columna tiene n – 2 carpetas. ¿Cuántas carpetas había al inicio?
A) 35
B) 42
C) 40
D) 44
E) 36
3.- Una vela de 24 cm se consume 6 cm por hora, a rapidez constante. ¿En cuánto tiempo se consume la tercera parte de la vela?
A) 1 hora
B) 1 hora y 20 minutos
C) 1 hora y 30 minutos
D) 1 hora y 40 minutos
E) 1 hora y 45 minutos
4.- En una granja hay vacas, cerdos y pollos. El número de vacas es al número de cerdos como 2 es a 3 y el número de cerdos es al número de pollos como 4 es a 15. Luego, podemos asegurar que el número total de animales de la granja es:
A) múltiplo de 4
B) múltiplo de 13
C) múltiplo de 20
D) múltiplo de 7
E) múltiplo de 2
5.- A las 6:00 am el depósito de agua de una familia estaba lleno. A las 2:00 pm la familia ya había usado el 40% del contenido del depósito, luego, entre las 2:00 pm y 11:00 pm usaron 2/3 de lo que quedaba a las 2:00 pm. Si a las 11:00 pm aún quedaban 96 litros en el depósito, ¿cuántos litros había a las 6:00 am?
A) 480
B) 280
C) 960
D) 576
E) 450
6.- Hilda observó un cóndor en el Cañón del Colca, el cual estaba volando en línea recta. Al inicio Hilda observó que el cóndor estaba a 500 metros de altura y después de 10 segundos estaba a 480 metros de altura. ¿Después de cuántos segundos, desde que Hilda empezó a observar al cóndor, éste estaba a 420 metros de altura?
A) 45
B) 30
c) 60
C) 40
D) 35
7.- Se tiene un cuadrado de papel de 16 cm2 de área. Al trazar las dos diagonales del cuadrado se obtiene cuatro triángulos:
Si el perímetro de cada triángulo es p cm, determine en qué intervalo se encuentra p:
A) 6 < p < 7
B) 7 < p < 8
C) 8 < p < 9
D) 9 < p < 10
E) 10 < p < 11
8.- Andrea va a viajar a Ecuador para lo cual necesita cambiar algunos soles por dólares. En el Banco Independencia 1 dólar cuesta 3,26 soles y en el Banco Confianza 1 dólar cuesta 3,28 soles. En el Banco Independencia te cobran 15 soles de comisión por cualquier cambio de moneda, y en el Banco Confianza no cobran comisión. Andrea fue el día lunes al Banco Independencia y regresó con 100 dólares; el día martes fue al Banco Confianza y también regresó con 100 dólares. ¿Cuántos soles en total gastó Andrea para obtener los 200 dólares?
A) 669
B) 654
C) 677
D) 684
E) 665
9.- En una fábrica de panetones, 5 máquinas envasan 7200 cajas en 6 horas. ¿Cuántas máquinas más se debe comprar para que, junto a las anteriores, puedan envasar 15360 cajas en 8 horas?
Nota: Considere que todas las máquinas trabajan a la misma rapidez.
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
10.- En la I.E. Illathupa de Huánuco sólo se atiende a estudiantes del nivel secundario y las cantidades por grado se muestran en la siguiente tabla:
|
Grado |
N° de
estudiantes |
|
Primero |
347 |
|
Segundo |
268 |
|
Tercero |
230 |
|
Cuarto |
251 |
|
Quinto |
244 |
Un grupo de estudiantes quiere hacer una encuesta a todos los estudiantes de la I.E., pero al ver que son muchos, decidieron escoger una muestra representativa de 210 estudiantes y hacer la encuesta solo con ellos. En dicha muestra las cantidades de estudiantes por gados deben ser proporcionales a las cantidades que hay por grado en toda la I.E. ¿Cuántos estudiantes de segundo grado debe haber en dicha muestra?
A) 21
B) 42
C) 54
D) 66
E) 78
11.- En índice de rectángulo se define como el cociente de su lado mayor entre su lado menor. Así, por ejemplo, si un rectángulo tiene 3 cm de largo y 2 cm de ancho, su índice es 3/2 = 1,5. En las imprentas trabajan con varios tamaños de papeles, uno de los más usados es el tamaño A4. Si a una hoja tamaño A4 se le hace un corte a la mitad (uniendo los puntos medios de sus lados mayores) se obtiene dos hojas de tamaño A5.
Una propiedad interesante es que una hoja de tamaño A4 tiene el mismo índice que un hoja tamaño A5. Calcule, aproximadamente, dicho índice.
A) 2
B) 1,41
C) 1,5
D) 1,35
E) 1,63
12.- En una obra teatral, realizada en el Teatro Municipal de Arequipa, los niños pagan S/ 8 y los adultos S/ 25. Si en total se recaudó S/ 942 y se vendieron más boletos de adultos que de niños, ¿cuántos boletos se vendieron en total?
A) 71
B) 37
C) 54
D) 58
E) 61
13.- Sean m y n números enteros. ¿En cuál o cuáles de los siguientes casos se puede asegurar que |m| + n = |m + n|?
I. Cuando m > 0.
II. Cuando n > 0.
III. Cuando m + n > 0.
A) Solo I
B) Solo II
C) I y II
D) I y III
E) en ningún caso
14.- Calcule la probabilidad que al lanzar tres dados se obtenga tres números distintos.
Nota: Considere que cada dado tiene en sus caras los números del 1 al 6.
A) 5/9
B) 2/3
C) ½
D) 4/9
E) ¾
15.- El sistema de puntuación Elo es un método matemático para calcular la habilidad relativa de los jugadores de ajedrez. De esta forma cada ajedrecista tiene una puntuación Elo que va cambiando en el tiempo, según los resultados que obtiene al enfrentarse a otros jugadores. La diferencia de la puntuación Elo entre dos jugadores determina una probabilidad estimada de puntuación entre ellos, llamada puntuación esperada. Si el jugador A tiene una puntuación Elo RA y el jugador B tiene una puntuación Elo RB, la fórmula exacta de la puntuación esperada del jugador A al enfrentarse a B es:
Actualmente, los tres ajedrecistas peruanos con mayor puntuación Elo son los siguientes:
|
Ajedrecista |
Puntuación
Elo |
|
Julio
Granda |
2656 |
|
Emilio
Córdova |
2643 |
|
Jorge
Cori |
2630 |
Usando la fórmula anterior, podemos determinar que la puntuación esperada de Julio Granda al enfrentarse a Emilio Córdova es
que es aproximadamente igual a 0,519. Calcule, aproximadamente, la puntuación esperada de Jorge Cori al enfrentarse a Emilio Córdova.
A) 0,519
B) 0,423
C) 0,481
D) 0,416
E) 0,459
16.- Triangular un polígono convexo de n lados consiste en trazar algunas diagonales que no se cortan dentro del polígono, de tal forma que el polígono quede divido en triángulos. Además, se Tn el número de formas en que se puede triangular un polígono regular de n lados.
Para n = 3, el polígono es un triángulo y no es necesario trazar diagonales para triangularlo, o sea tenemos que T3 =1. Para n = 4, el polígono es un cuadrado y tenemos que T4 = 2. Para n = 5, el polígono es un pentágono y tenemos que T5 = 5.
Determine el valor de T6.
A) 18
B) 9
C) 8
D) 14
E) 7
17.- En la figura se muestra tres segmentos dentro de un cuadrado. El segundo segmento tiene longitud 2 cm y es perpendicular a los otros dos segmentos de longitudes 5 cm y 9 cm.
¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado?
A) 11 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 7√ 2 cm
E) 6√ 2 cm
18.- Una rana se encuentra en el punto 0 de la recta numérica, y planea dar saltos de la siguiente manera: en su primer salto, quiere saltar una unidad en cualquier dirección (izquierda o derecha), en su segundo salto quiere saltar dos unidades en cualquier dirección, en su tercer salto quiere saltar tres unidades en cualquier dirección, y así sucesivamente. ¿Cuántos saltos, como mínimo, debe realizar la rana para llegar al punto 12?
A) 8
B) 9
C) 5
D) 6
E) 7
19.- Las cuatro circunferencias mostradas tienen igual radio y cada una es tangente a uno o dos lados del triángulo; cada circunferencia es tangente al segmento que está dentro del triángulo ABC y, además, la circunferencia central inferior es tangente a las circunferencias vecinas. Si AC = 12 cm, calcule el área del triángulo ABC.
A) 24√2 cm2
B) 18√3 cm2
C) 30 cm2
D) 7√2 cm2
E) 36 cm2
20.- Determine cuántos números de 6 dígitos cumplen que cada dígito pertenece al conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} (está permitido repetir dígitos) y además la suma de cualesquiera de dos dígitos adyacentes es múltiplo de 2 o de 3.
Nota: Algunos números de 6 dígitos que cumplen las condiciones requeridas son 111112, 153154 y 666666.
A) 36 x 24
B) 34 x 25
C) 212
D) 36 x 23
E) 3 x 211
A) 11 cm
B) 10 cm
C) 14 cm
D) 7√ 2 cm
E) 6√ 2 cm
18.- Una rana se encuentra en el punto 0 de la recta numérica, y planea dar saltos de la siguiente manera: en su primer salto, quiere saltar una unidad en cualquier dirección (izquierda o derecha), en su segundo salto quiere saltar dos unidades en cualquier dirección, en su tercer salto quiere saltar tres unidades en cualquier dirección, y así sucesivamente. ¿Cuántos saltos, como mínimo, debe realizar la rana para llegar al punto 12?
A) 8
B) 9
C) 5
D) 6
E) 7
19.- Las cuatro circunferencias mostradas tienen igual radio y cada una es tangente a uno o dos lados del triángulo; cada circunferencia es tangente al segmento que está dentro del triángulo ABC y, además, la circunferencia central inferior es tangente a las circunferencias vecinas. Si AC = 12 cm, calcule el área del triángulo ABC.
A) 24√2 cm2
B) 18√3 cm2
C) 30 cm2
D) 7√2 cm2
E) 36 cm2
20.- Determine cuántos números de 6 dígitos cumplen que cada dígito pertenece al conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} (está permitido repetir dígitos) y además la suma de cualesquiera de dos dígitos adyacentes es múltiplo de 2 o de 3.
Nota: Algunos números de 6 dígitos que cumplen las condiciones requeridas son 111112, 153154 y 666666.
A) 36 x 24
B) 34 x 25
C) 212
D) 36 x 23
E) 3 x 211