Prueba de la XIX Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM 2023) Etapa Nacional - Nivel 3 Fase 4
23 de noviembre de 2023
1. Definimos el conjunto M = {1^2, 2^2, 3^2, . . . , 99^2, 100^2}.
a) ¿Cuál es el menor entero positivo que divide a exactamente dos elementos de M?
b) ¿Cuál es el mayor entero positivo que divide a exactamente dos elementos de M?
2. Para cada n´umero real positivo x, sea f(x) = x/(1 + x). Demuestre que si a, b, c son las longitudes de los lados de un triángulo, entonces f(a), f(b), f(c) son las longitudes de los lados de un triángulo.
3. Demuestre que, para todo n´umero entero n ≥ 2, es posible dividir un hexágono regular en n cuadriláteros tales que cualesquiera dos de ellos sean semejantes.
Aclaración: Dos cuadriláteros son semejantes si tienen sus lados correspondientes proporcionales y sus ángulos correspondientes son iguales, es decir, los cuadriláteros ABCD y EFGH son semejantes si AB/EF = BC/FG = CD/GH = DA/HE , ∠ABC = ∠EF G, ∠BCD = ∠F GH, ∠CDA = ∠GHE y ∠DAB = ∠HEF.
4. Sean ABC un triángulo acutángulo escaleno y K un punto en su interior que pertenece a la bisectriz del ángulo ∠ABC. Sea P el punto donde la recta AK interseca a la recta perpendicular a AB que pasa por B, y sea Q el punto donde la recta CK interseca a la recta perpendicular a CB que pasa por B. Sea L el pie de la perpendicular trazada desde K a la recta AC. Pruebe que si P Q es perpendicular a BL, entonces K es el incentro de ABC.